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奇异吸引子
作者:风鹤  发布时间:2011-10-28  阅读次数:4911  字体大小: 【】 【】【

  

奇异吸引子

  

              奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物,也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。目前奇异吸引子仅仅是一个抽象数学概念,还没有发展出完善的理论模型。科学家对于奇异吸引子的研究才刚刚起步,而研究奇异吸引子有助于科学家了解混沌系统中存在形态的规律问题。

  

           整体上讲系统是稳定的即吸引子外的一切运动最后都要收敛到吸引子上.但就局部来说吸引子内的运动又是不稳定的即相邻运动轨道要相互排斥而按指数型分离.


  对应于混沌运动的物理过程的一个抽象数学概念,也称为奇怪吸引子,由法国物理学家D.吕埃尔和F.泰肯在1970年左右引入。所有的运动系统,不管是混沌的还是非混沌的,都以吸引子为基础,它因具有倾向于把一个系统或一个方程吸引到某一个终态或终态的某种模式而得名。吸引子可以区分为平庸吸引子和奇异吸引子两类。

             平庸吸引子具有不动点、极限环和整数维的环面三种模式,分别对应于非混沌系统中的平衡、周期运动和概周期运动三种有序稳态运动形态。例如,一个孤立的单摆运动,将因摩擦而不断损失能量,最后停止在一个点上,可认为这个系统受一个“不动点吸引子”的控制。

           一切不属于平庸的吸引子都称为奇异吸引子,对应于混沌系统中非周期的、貌似无规律的无序稳态运动形态。例如,气候就是天气系统的奇异吸引子,由于大气过程的复杂性和不断地受太阳热量等外力的驱使,导致气候不可能被吸引到一个固定点或者一个周期性的模式中。科学家在研究混沌时常常通过编制程序和在计算机上解出基本方程而由机器把奇异吸引子画出来,并且将其物化为颜色多样和形状奇异的模式。科学家们通过对奇异吸引子的探索想搞清楚,在一个混沌系统中,什么样的状态可以存在,什么样的状态不能存在。


  奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性(不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性)有着密切关系,它具有不同属性的内外两种方向:在奇异吸引子外的一切运动都趋向(吸引)到吸引子,属于“稳定”的方向;一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥,对应于“不稳定”方向。

           奇异吸引子的一个著名例子是洛伦茨吸引子,它是在研究天气预报中大气对流问题的洛伦茨模型中得到的。洛伦茨吸引子由“浑然一体”的左右两簇构成,各自围绕一个不动点。当运动轨道在一个 簇中由外向内绕到中心附近后,就随机地跳到另一个簇的外缘继续向内绕,然后在达到中心附近后再突然跳回到原来的那一个簇的外缘,如此构成随机性的来回盘旋。奇异吸引子具有两个主要的特点:①奇异吸引子上的运动对初始值表现出极强的敏感依赖性,在初始值上的微不足道的差异,就会导致运动轨道的截然不同。

             ②奇异吸引子往往具有非整数维(也称分维),如2.06维、1.2365维等,常需要通过计算才能加以确定。1976年,美国物理学家M.J.费根鲍姆发现,奇异吸引子具有标度无关性。当把标尺作适当的放大后,吸引子的细节部分具有与整体相同的结构,同一种形态在越来越小的尺度上重复,其典型例子是埃农吸引子。

  对奇异吸引子的研究还处于开始阶段,有无数的形式有待探索和发现。动力学系统的大范围分析被认为是奇异吸引子的数学理论基础,但是关于奇异吸引子的理论还远未完成。


  

             简单地说奇怪吸引子就是相空间(对连续 的动力学系统,至少是三维;对离散的动力学系统,至少是二维)的一个有限的区域内,由无穷多个不稳定点集组成的一个**体。
奇怪吸引子有两个最重要的特征: (1) 对初始条件有敏感的依赖 性。 在初始时刻从这个奇怪吸引子上任何两个非常接近的点出发的两条运动轨道,最终必会以指数 的形式互相分离。
由于混沌对初值极为敏感,它表现为局部不稳定。但对耗散系统而言,则又具有相 体积收缩的特性,因而造成轨道无穷多次折迭往返。混沌轨道在相空间中"添满"有限的区域,形成奇 怪吸引子。实际上,它有内外两种趋向,一切吸引子之外的运动都向它靠拢,这是稳定的方向;而一 切到达吸引子内的轨道都又相互排斥(指数式分离),对应为不稳定方向。
  
             正是这种整体趋向稳定而 局部又极为不稳定的矛盾,导致了奇怪吸引子的另一个更奇怪的性质: (2) 它具有非常奇特的拓 扑结构和几何形式。 奇怪吸引子是具有无穷多层次自相似结构的、几何维数为非整数的一个**体 。为了描述奇怪吸引子的这种奇特结构,Mandelbrot率先引进了分形(既其维数是非整数的对象)的 概念。 作为相空间点**的吸引子,其维数必定低于空间的维数。低维性是吸引子的重要特征之一,因 为系统寻找目的态的过程必定是降维的过程。
当相空间同时存在几个吸引子时,整个相空间将以它们为中心划分为几个区域,每个区域内的轨 道都以该吸引子为归宿,称为该吸引子的吸引域或流域。吸引子理论认为,复杂系统在状态空间中的 行为轨线是由动力方程来表示的。它的动力学方程一般地是由一组“吸引子”所决定的。
系统向哪个 吸引子演化,取决于初态落在那个吸引域里,系统最终达到哪个吸引子是不确定的,一些微小的涨落 都会导致系统走向某个吸引子而不走向另一个吸引子. 吸引子是刻划系统整体特性的概念,具有不可分割性,即不能把它划分为两个都满足定义要求的 较小**。也不能把几个吸引子组合为一个吸引子,如平衡态A与周期态B不能合成一个单一的吸引子.

来源:白月团队
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